use Maclaurin series to evaluate each of the following lim [tex] \frac{sin^2 2x}{x^2} [/tex] x ->0
1. use Maclaurin series to evaluate each of the following lim [tex] \frac{sin^2 2x}{x^2} [/tex] x ->0
Gunakan definisi deret Maclaurin
[tex]$\begin{align}f(x)&=f(a)+\frac{(x-a)}{1!}f'(a)+\frac{(x-a)^2}{2!}f''(a)+...+\frac{(x-a)^n}{n!}f^n(a)+S\end{align}[/tex]
Ingat, kita menggunakan Maclaurin, sehingga a = 0
gunakan sinx
f(x) = sinx
f(a) = f(0) = sin(0) = 0
f'(x) = cosx
f'(a) = f'(0) = cos(0) = 1
f''(x) = -sinx
f''(0) = 0
f'''(x) = -cosx
f'''(0) = -1
dan seterusnya, sehingga didapatkan deret :
[tex]$\begin{align}\sin(x)&=0+\frac{x}{1!}.1+\frac{x^2}{2!}.0+\frac{x^3}{3!}.(-1)+... \\ \sin(x)&=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+... \\ \sin(2x)&=2x-\frac{(2x)^3}{3!}+\frac{(2x)^5}{5!}-\frac{(2x)^7}{7!}+... \\ \sin^2(2x)&=(2x)^2-\frac{(2x)^6}{3!}+\frac{(2x)^{10}}{5!}-\frac{(2x)^{14}}{7!}+... \\ \frac{sin^2(2x)}{x^2}&=\frac{(2x)^2}{x^2}-\frac{(2x)^4}{3!}+\frac{(2x)^{10}}{5!}-... \\ &=\frac{4x^2}{x^2}-\frac{(2x)^4}{3!}+... \\ &=4-\frac{(2x)^4}{3!}+... \end{align}[/tex]
[tex]$\begin{align}\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(2x)}{x^2}&=\lim_{x \to 0}4-\frac{(2x)^4}{3!}+... \\ &=\boxed{\boxed{\bold{4}}}\end{align}[/tex]
2. Diketahui f(x) = sin 2x. Tentukan ekspansi deret Maclaurin, sampai 4 suku saja.
Hasil ekspansi dari fungsi f(x) = sin (2x) dengan deret MacLaurin sampai empat suku (order nol sampai order tiga) adalah 2x - ⁴/₃ x³. Hasil deret MacLaurin ini merupakan pendekatan hasil dari fungsi f(x), artinya:
f(x) = sin (2x) ≅2x - ⁴/₃ x³
Penjelasan dengan langkah-langkahDeret MacLaurin merupakan salah satu bentuk khusus dari deret Taylor atau dapat disebut deret Taylor Baku. Berikut bentuk umum dari deret MacLaurin dengan ekspansi sampai empat suku:
[tex]\bf f(x) = \sum \limits^3_{n=0}{\dfrac{f^n(0)}{n!}(x)^n} = f(0) +\dfrac{f'(0)}{1!}x+\dfrac{f''(0)}{2!}x^2+\dfrac{f'''(0)}{3!}x^3[/tex]
Berikut syarat-syarat suatu fungsi f(x) yang dapat diekspansikan dengan deret MacLaurin:
Fungsi f(x) kontinu di x = 0.Artinya:
[tex]\sf \lim_{x \to 0} f(x) = f(0)[/tex]Nilai dari turunan f(0), mulai dari turunan pertama, kedua, dan seterusnya adalah terdefinisi.
Diketahui:
f(x) = sin (2x).
Ditanyakan:
[tex]\sf f(x) = sin(2x) =\sum\limits_{n=0}^3{\dfrac{f^{n}(0)}{n!}x^n}=?[/tex]
Penyelesaian:
Langkah 1
Menentukan hasil turunan fungsi f(x) sampai suku ke-4 (turunan ketiga).
f(x) = sin (2x)Suku ke-2:
f'(x) = 2 cos (2x)Suku ke-3:
f''(x) = - 4 sin (2x)Suku ke-4:
f'''(x) = - 8 cos (2x)
Langkah 2
Melakukan substitusi nilai x = 0 pada setiap hasil turunan fungsi f(x).
f(0) = 0f'(0) = 2 cos (0)
f'(0) = 2 (1)
f'(0) = 2f''(0) = - 4 sin (0)
f''(0) = - 4 (0)
f''(0) = 0f'''(x) = - 8 cos (0)
f'''(x) = - 8 (1)
f'''(x) = - 8
Langkah 3
Substitusi nilai pada langkah 2 ke deret MacLaurin.
[tex]\begin{array}{ll} \sf f(x) &\sf = \sum \limits^3_{n=0}{\dfrac{f^n(0)}{n!}(x)^n} \\\\\sf &\sf = f(0) +\dfrac{f'(0)}{1!}x+\dfrac{f''(0)}{2!}x^2+\dfrac{f'''(0)}{3!}x^3 \\\\\sf &\sf = 0 + \dfrac{2}{1}x+\dfrac{0}{2\times 1}x^2+\dfrac{-8}{3\times 2\times 1}x^3\\\\&\sf =2x-\dfrac{4}{3}x^3.\end{array}[/tex]
Pelajari lebih lanjutMateri tentang penguraian deret Taylor dari order nol hingga tiga:https://brainly.co.id/tugas/50890176Materi tentang penguraian deret Taylor lain sampai order 4:
https://brainly.co.id/tugas/22972988
______________
Detail jawabanKelas : XI
Mapel : Matematika
Bab : 5 - Suku Banyak
Kode : 11.2.5
#SolusiBrainlyCommunity
3. deret Maclaurin dari f(x) = sin x, dan tentukan nilai sin 0,5
Jawaban:
yntkts
Penjelasan dengan langkah-langkah:
yo dak tau kok tanya saya
4. Ekspansikan f(x)=sin x kedalam deret maclaurin sampai 5 suku pertama yang tidak nol! Tolong bantu yang serius gaiss:))
Jawab:
Penjelasan dengan langkah-langkah:
deret maclauirin dapat ditulis sebagai berikut :
[tex]f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+...\\\\\\f(x)=sinx~\to~f(0)=sin0=0\\\\f'(x)=cosx~\to~f'(0)=cos0=1\\\\f''(x)=-sinx~\to~f''(0)=-sin0=0\\\\f'''(x)=-cosx~\to~f(0)=-cos0=-1\\\\f^4(x)=sinx~\to~f(0)=sin0=0\\\\f^5(x)=cosx~\to~f^5(0)=cos0=1\\\\f^6(x)=-sinx~\to~f''(0)=-sin0=0\\\\f^7(x)=-cosx~\to~f(0)=-cos0=-1\\\\\\maka\\[/tex]
[tex]\\sinx=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+...\\\\sinx=sin0+\frac{cos0}{1!}x+\frac{-sin0}{2!}x^2+\frac{-cos0}{3!}x^3+\frac{sin0}{4!}x^4+\frac{cos0}{5!}x^5+\frac{-sin0}{6!}x^6+\frac{-cos0}{7!}x^7+...\\\\sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+...[/tex]
5. Tentukan polinom Maclaurin orde 4 untuk f(x) = sin 2x, kemudian gunakan polinom tersebut untuk menghampiri nilai f(0,23).
Fungsi sin 2x memiliki polinom Maclaurin orde 4 sebagai berikut:
[tex]f(x)=2x-\frac{4}{3}x^3[/tex]
dan nilai hampirannya untuk x = 0,23 adalah 0,443777.
Penjelasan dengan langkah-langkah:Ingat rumus deret Taylor:
[tex]f(x)=\Sigma_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^n\\f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+\frac{f''(c)}{2!}(x-c)^2+\frac{f'''(c)}{3!}(x-c)^3+\frac{f^{(4)}(c)}{4!}(x-c)^4+\cdots[/tex]
Rumus deret Maclaurin merupaan rumus deret Taylor saat c = 0, atau:
[tex]f(x)=\Sigma_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\\f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots[/tex]
Diketahui:
f(x) = sin 2x
Ditanya: polinom Maclaurin fungsi f dan nilai hampiran f(0,23)
Jawab:
Mari tentukan turunan f dan nilainya di x = 0 sampai orde keempat.
f(x) = sin 2x
f(0) = sin(2·0) = sin 0 = 0
f'(x) = 2cos 2x
f'(0) = 2cos(2·0) = 2cos 0 = 2·1 = 2
f''(x) = -4sin 2x
f''(0) = -4sin(2·0) = -4sin 0 = -4·0 = 0
f'''(x) = -8cos 2x
f'''(0) = -8cos(2·0) = -8cos 0 = -8·1 = -8
f⁽⁴⁾(x) = 16sin 2x
f⁽⁴⁾(0) = 16sin(2·0) = 16sin 0 = 16·0 = 0
Lalu, tentukan polinom Maclaurinnya.
[tex]f(x)=0+2x+\frac{0}{2\times1}x^2+\frac{(-8)}{3\times2\times1}x^3+\frac{0}{4\times3\times2\times1}x^4=2x-\frac{4}{3}x^3[/tex]
Dari sini, mari hitung nilai hampirannya saat x = 0,23.
[tex]f(0,23)=2\times0,23-\frac{4}{3}\times(0,23)^3\\=0,46-\frac{4}{3}\times0,012167\\\approx0,46-0,016223\\=0,443777[/tex]
Pelajari lebih lanjut:Materi tentang Membuktikan Suatu Bentuk dengan Menggunakan Deret Maclaurin https://brainly.co.id/tugas/36449315
#BelajarBersamaBrainly
6. tolong jawab deret maclaurin ini, terimakasih
Penjelasan dengan langkah-langkah:
apansai ada di ff gak ada jwbnnya harusnya 82 ada di ff gak
7. Jika g(x)= sin(3x),carilah deret Maclaurinnya?
• Trigonometri
-
Deret Taylor
[tex] \boxed{ \tt f(x) = \sin(3x) }[/tex]
Mencari Turunan Fungsi[tex] \: \: \: \: \tt f'(x) = 3 \cos(3x) \\ \tt \: \: f''(x) = - 9 \sin(3x) \\ \tt f'''(x) = - 27 \cos(3x) \\ \: \: \: \tt {f}^{4} (x) = 81 \sin(3x) \\ \: \: \: \tt {f}^{5} (x) = 243 \cos(3x) [/tex]
Mencari Nilai x = 0 tiap turunan[tex] \: \: \: \: \tt f'(0) = 3 \cos(0) = 3 \\ \tt \: \: f''(0) = - 9 \sin(0) = 0 \\ \tt f'''(0) = - 27 \cos(0) = - 27\\ \: \: \: \tt {f}^{4} (0) = 81 \sin(0) = 0 \\ \: \: \: \tt {f}^{5} (0) = 243 \cos(0) = 243[/tex]
Menentukan Deret MacLaurin[tex] \tt \sin(3x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!} x + \frac{f''(0)}{2!} {x}^{2} + \frac{f'''(0)}{3!} {x}^{3} + \frac{ {f}^{4}(0) }{4!} {x}^{4} + \frac{ {f}^{5} (0)}{5!} {x}^{5} + ... \\ \tt \sin(3x) =0 + 3 {x} + 0 - \frac{27}{6} {x}^{3} + 0 + \frac{243}{120} {x}^{5} \\ \tt \sin(3x) = 3x - \frac{9}{2} {x}^{3} + \frac{81}{40} {x}^{5} + ... [/tex]
•••
8. The right structure for recount text is * A.Series of events-reorientations-orientation B.Orientations-series of events C.Reorientation-series of events-orientation D.Orientation Series of events-Reorientation
Jawaban:
D.
Penjelasan:
GENERIC STRUCTURE OF RECOUNT TEXT IS ORIENTATION - EVENTS - REORIENTATION.
Orientation sebagai pembuka cerita, events adalah kejadian-kejadian yang terjadi, re-orientation sebagai penutup cerita.
9. Deret maclaurin dari cos x (ekspansikan)
Materi Deret Maclaurin dan Taylor
Pembahasan terlampir
10. Deret Maclaurin dari soal diatas
n.b. : Saya pakai latex, ya
[tex]$\begin{align}f(x)&=x\sqrt{1+x^2}&=x(1+x^2)^{\frac{1}{2}}\end{align}[/tex]
Misal, bentuk perkalian uv
perhatikan bentuk v, manfaatkan deret binomial.
[tex]$\begin{align}x(1+x^2)^{\frac{1}{2}}&=x\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1^{\frac{1}{2}-k}\times (x^2)^k\times \Pi_{i=0}^{k-1} (\frac{1}{2}-k)}{k!} \\ &=x(1+\frac{1}{2}x^2+(\frac{1}{2})(-\frac{1}{2})(\frac{1}{2})(x^2)^2+...) \\ &=x+\frac{1}{2}x^3-\frac{1}{8}x^5 + \frac{1}{16}x^7+...\end{align}[/tex]
11. Diketahui deret Maclaurin untuk e-2x dengan x = 0.1
Jawaban:
32
___
5!
Penjelasan dengan langkah-langkah:
kan dari 1 2/1 × 4/2 × 8/3 × 16/4 × jadi 32/5.
12. Jabarkan dalam sebuah deret maclaurin A) ln (x+1) B) sin^2 Mohon bantuannya yg tau wkwk
A) In (×+1)
maff klo slah
13. hampiri sin (0.2) dengan deret maclaurin. berapakah derajat minimal yang diperlukan untuk menghampiri fungsi tersebut sedemikian sehingga galat atau error bernilai kurang dari 0.0001?
Jawaban:
entah gua juga ga tau tapi ya sudahlah cari aj jawabn di tempat lain:v
14. sederhanakan deret maclaurin dengan persamaan f(x)=2x³+4x. tentukan nilai f(x) setelah disederhanakan jika x=1
f (x) = 2x^3 +4x
f (1) = 2 (1)^3 +4 (1)
= 2+4 =6
15. QUIZX !!Aljabar series #1[tex]3x + 4y - 2x + 6y[/tex]Yang di atas mudah kok UnUNote : Aljabar series :V
Jawaban:
[tex]x+10y[/tex]
Penjelasan dengan langkah-langkah:
[tex]3 x + 4 y - 2 x + 6 y[/tex]
[tex] = x+4y+6y [/tex]
[tex] = x+10y [/tex]
3x + 4y - 2x + 6y
Gabungkan suku sejenis
= (3x-2x) + (4y+6y)
=> [tex]\tt\blue{x + 10y }[/tex]
Penyelesaianx + 10y
[tex]\huge\colorbox{pink}{\red{ \boxed{ \tt{ \color{red}{call \: me \: nesa}}}}} [/tex]
16. yes l am...for the last series of spederman?
yes i am watched for the last series Yes i'm (like it) For the last series of spiderman
Ya saya menyukainya Untuk seri terakhir spiderman
17. tentukan deret maclaurin untuk f (x ) hingga suku^5a. f (x) = tan xb. f(x) = e^x sin xc. f(x) = e^x + x + sin x
Jawab:
a) [tex]\tan x=x+\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5[/tex]
b) [tex]e^x \sin x=x+x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{30}x^5[/tex]
c) [tex]e^x+x+\sin x=1+3x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4+\frac{1}{60}x^5[/tex]
Penjelasan dengan langkah-langkah:
Sebelum kita mengerjakan soalnya, kita harus ingat rumus untuk deret Maclaurin:
[tex]f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+...[/tex]
PEMBAHASAN
a) [tex]f(x)=\tan x[/tex]
Kita akan cari hingga turunan kelima dari f(x)=tanx.
[tex]f'(x)=\sec^2 x[/tex]
[tex]f''(x)=2 \sec^2 x\tan x[/tex]
[tex]f'''(x)=-4 \sec^2 x+6 \sec^4 x[/tex]
[tex]f^{(4)}(x)=-8\sec^2x\: \tan x+24 \sec^4x\: \tan x[/tex]
[tex]f^{(5)}(x)=-8\left(-2\sec ^2\left(x\right)+3\sec ^4\left(x\right)\right)+24\left(4\sec ^4\left(x\right)\tan ^2\left(x\right)+\sec ^6\left(x\right)\right)[/tex]
(Ingat, turunan dari [tex]\tan x[/tex] dalah [tex]\sec^2 x[/tex] dan turunan dari [tex]\sec x[/tex] adalah [tex]\sec x \tan x[/tex])
Dari data diatas, kita dapat:
[tex]f(0)=0\\f'(0)=1\\f''(0)=0\\f'''(0)=-4+6=2\\f^{(4)}(0)=0\\f^{(5)}(0)=-8(-2+3)+24(1)=-8+24=16[/tex]
Maka, kita substitusikan nilai tersebut pada rumus deret Maclaurin menjadi:
[tex]\tan x=0+\frac{1}{1}x+0+\frac{2}{3!}x^3+0+\frac{16}{5!}x^5[/tex]
[tex]\tan x=x+\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5[/tex]
Maka, deret Maclaurin untuk tan(x) adalah [tex]\tan x=x+\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5[/tex]
b) [tex]f(x)=e^x \sin x[/tex]
Kita bisa menggunakan 2 cara untuk menyelesaikan ini.
CARA PERTAMA:
Anda harus ingat deret Maclaurin untuk fungsi [tex]e^x[/tex], [tex]\sin x[/tex], dan [tex]\cos x[/tex].
[tex]e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...[/tex]
[tex]\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...[/tex]
[tex]\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...[/tex]
Dari sini, kita bisa substitusi deret tersebut pada f(x).
[tex]f(x)=e^x \sin x[/tex]
[tex]f(x)=\left(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}\right)\left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!} \right)[/tex]
[tex]f(x)=x+x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{30}x^5[/tex] (karena sampai pangkat lima saja)
CARA KEDUA:
Gunakan cara yang sama seperti bagian a.
[tex]f(x)=e^x \sin x[/tex]
[tex]f'(x)=e^x\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)e^x[/tex]
[tex]f''(x)=2e^x\cos \left(x\right)[/tex]
[tex]f'''(x)=2\left(e^x\cos \left(x\right)-e^x\sin \left(x\right)\right)[/tex]
[tex]f^{(4)}(x)=-4e^x\sin \left(x\right)[/tex]
[tex]f^{(5)}(x)=-4\left(e^x\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)e^x\right)[/tex]
Substitusikan nilai x=0 untuk fungsi-fungsi diatas:
[tex]f(0)=0[/tex]
[tex]f'(0)=1[/tex]
[tex]f''(0)=2[/tex]
[tex]f'''(0)=2[/tex]
[tex]f^{(4)}(0)=0[/tex]
[tex]f^{(5)}(0)=-4[/tex]
Masukkan nilai-nilai tersebut pada rumus Maclaurin diatas, sehingga:
[tex]f(x)=0+x+x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{-4}{5!}x^5[/tex]
[tex]f(x)=x+x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{30}x^5[/tex]
c) [tex]f(x)=e^x+x+\sin x[/tex]
CARA PERTAMA:
[tex]f(x)=\left(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}\right)+x+\left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\right)[/tex]
[tex]f(x)=1+3x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4+\frac{1}{60}x^5[/tex]
CARA KEDUA:
[tex]f(x)=e^x+x+\sin x[/tex]
[tex]f'(x)=e^x+1+\cos \left(x\right)[/tex]
[tex]f''(x)=e^x-\sin \left(x\right)[/tex]
[tex]f'''(x)=e^x-\cos \left(x\right)[/tex]
[tex]f^{(4)}(x)=e^x+\sin \left(x\right)[/tex]
[tex]f^{(5)}(x)=e^x+\cos \left(x\right)[/tex]
Substitusikan nilai x=0, kita dapat:
[tex]f(0)=1[/tex]
[tex]f'(0)=3[/tex]
[tex]f''(0)=1[/tex]
[tex]f'''(0)=0[/tex]
[tex]f^{(4)}(0)=1[/tex]
[tex]f^{(5)}(0)=2[/tex]
Subsitusikan ke deret Maclaurin, kita dapat:
[tex]f(x)=1+3x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4+\frac{1}{60}x^5[/tex]
18. Deret MacLaurin untuk f(x) = 1/1-2x
Jawaban:
sulit ei soal nya
Penjelasan dengan langkah-langkah:
sorry the same time as a result of the most important thing is that the only y the same time as a result of
19. write appropriate captions for the following series of pictures
Caption 2
a daughter helps grandma cross the street
Caption 3
a child asks his father for a lesson
#Terimakasi sudah bertanya di brainly, semoga membantu!
#Semangat Hyung:'
20. series of letters or number s for sorting the mail
Jawaban:
serangkaian huruf atau angka untuk menyortir surat
